Apa itu Urutan Fibonacci? Kenapa Ia Hebat?

Anonim

Matematik adalah kajian corak. Walaupun semua corak cenderung untuk mematuhi peraturan logik yang ketat, hanya segelintir sahaja yang memupuk kreativiti. Ia tidak masuk akal untuk saya bagaimana persamaan satu inci boleh seketika memegang tangan anda dan membawa anda untuk menarik angka yang paling indah. Ia luar biasa bagaimana angka kompleks ini dapat dikurangkan menjadi tiga simbol dan dua garis selari. Saya menggunakan istilah yang ada kerana, untuk saat ini, kita secara membabi buta melakukan apa yang persamaan perintah, dan mempercayai nubuatan, kita mula menandakan titik-titik, yang pada mulanya seolah-olah tidak boleh disambungkan.

Walau bagaimanapun, kami terus mempersetujui. Alat gigitan dan pemerintah yang menjengkelkan enggan diangkat sehingga kesan pada kertas pada dasarnya merupakan koleksi titik tak terbatas; titik-titik hitam yang ditinggalkan oleh pensil dan titik-titik putih dipecahkan oleh kompas. Titik tak terhingga membuka kunci diri dengan cepat dan taat selaras sama seperti logik memerlukannya. Walaupun keseronokan minimalis dalam bulatan, abstraksiis menyukai dalam polyhedron.

Kemudian terdapat corak berangka, urutan nombor yang secara berkala ulangi. Manusia adalah makhluk-makhluk mencari pola. Sebenarnya, kita sangat mahir menyambungkan titik-titik yang corak-corak ini tidak eksklusif untuk titik, tetapi juga diperluaskan kepada konteks. Kemunculan corak atau angka dengan naib atau kebaikan menghubungkan kejadian keduanya. Mereka telah menjadi pendorong di belakang kultus-kultus dalam pelbagai masyarakat.

Simbol Illuminati & Wow! isyarat (Photo Credit: Quintendp099 & NAAPO / Wikimedia Commons)

Terdapat unsur kepercayaan bahawa orang telah lama dikaitkan dengan tokoh dan kumpulan tertentu, seperti The Illuminati . Sebaliknya, ahli sains dan ahli matematik memilih untuk mengaitkan satu bentuk misteri intelektual dengan corak sedemikian. Pertimbangkan Wow! Isyarat, pola abjad yang diterima secara tidak disangka-sangka di kalangan nombor oleh teleskop radio Big Teleskop Ohio, membayangkan pada aktiviti luar angkasa.

Walau bagaimanapun, terdapat juga corak nombor yang menghasut bukan sekadar misteri, tetapi kesucian, kerana ia muncul di tempat yang tidak akan diharapkan. Pertimbangkan corak ini - 13-3-2-21-1-1-8-5 - ditarik oleh curator muzium yang dibunuh Jacques Saunière sebagai petunjuk untuk Tom Hanks dalam The Da Vinci Code .

Nombor Fibonacci

Leonardo Pisano, yang dikenali sebagai Fibonacci. (Kredit Foto: Dr. Manuel di Wikipedia bahasa Jerman / Wikimedia Commons)

Fibonacci amat disukai oleh matematik Hindu-Arab. Orang Eropah pada masa itu terus menggunakan set angka Rom yang luas, manakala orang Hindu dan Arab telah menikmati kebaikan sistem nombor Hindu-Arab - nombor Base-10 dari 0-9 - untuk generasi. Dia memutuskan untuk membawa idea-idea ini ke Eropah dengan menerbitkannya dalam karya beliau yang sangat dihormati Liber Abaci.

Buku ini menjadi legenda. Walau bagaimanapun, popularitinya akhirnya dikurangkan kepada hanya dua sumbangan: pertama, sistem nombor, tanpa kemajuan matematik moden tidak mungkin; dan kedua, masalah hipotesis, tidak realistik mengenai pembiakan arnab. Nombor Fibonacci pertama kali dipaparkan sebagai penyelesaian kepada masalah ini.

Nombor Fibonacci yang misterius

Kita boleh membahagikan urutan dengan mana - mana nombor untuk mendapatkan corak kitaran sedemikian. Sebagai contoh, apabila nombor dibahagikan dengan 7, tempoh 16 nombor muncul. Begitu juga, tempoh masa adalah 20 apabila pembahagi adalah 5. Bahkan membahagikan dengan 1/3 hasil dalam pita panjang berulang, cuplikan yang sama. Walau bagaimanapun, ahli matematik tidak menemui formula umum yang meramalkan panjang satu tempoh apabila urutan dibahagikan dengan nombor tertentu.

Satu lagi kebingungan yang mengamuk adalah segitiga berbentuk sudut yang tidak terhingga yang tersembunyi dalam urutan itu. Bermula dengan 5, setiap nombor kedua dalam urutan adalah hypotenuse segi tiga tepat segitiga yang sisi yang lebih panjang adalah jumlah semua sisi segi tiga yang terdahulu dan sisi yang lebih pendek adalah perbezaan antara nombor yang dilangkau dan sisi yang lebih pendek dari sebelumnya segi tiga. Penjelasan bergambar akan membantu segitiga ini difahami dengan lebih baik.

Apakah sihir ini?

Utiliti matematik abstrak menjadi hujah utama dalam perbahasan yang mempersoalkan sama ada matematik dicipta atau ditemui. Terdapat teori-teori yang menggambarkan urutan tertinggi matematik jenius dan kekakuan tetapi benar-benar terpencil dari dunia nyata. Sebagai contoh, Newton mencipta kalkulus terutamanya untuk menentukan persamaan trajektori yang Bumi mengikuti sekitar Matahari. Sudah tentu, kalkulus ternyata menguntungkan dalam pelbagai domain lain, tetapi bolehkah kita mengatakan hal yang sama mengenai Hipotesis Riemann ?

Walau bagaimanapun, terdapat keadaan jarang di mana matematik abstrak yang sangat esoterik menjadi terpakai. Sebagai contoh, Riemann mengembangkan konsep geometri melengkung yang tidak masuk akalnya pada tahun 1850-an, yang seolah-olah tidak boleh digunakan sehingga Einstein menggunakannya untuk mencari semula undang-undang graviti dalam Teori Relativiti Amnya . Ketidakhadiran perkahwinan matematik ini masih menjadi masalah kepada kita.

Ini adalah kes dengan sifat fizikal nombor Fibonacci juga. Walaupun ditemui pada Zaman Pertengahan, mereka telah ditemui dan ditemui semula, untuk kebingungan semua orang, di tempat-tempat yang tidak kami harapkan. Ketertarikan kami dengan nombor Fibonacci memanjang sehingga sedemikian rupa sehingga keseluruhan majalah didedikasikan untuk keganjilannya, yang disebut Fibonacci Quarterly.

Pertimbangkan segitiga Pascal. Apabila Pascal dihubungi oleh seorang penjudi tentang kemungkinan hasil mati dan sifat kepentingan, beliau mencipta teori kebarangkalian untuk menyelesaikan masalah ini. Segitiga Pascal adalah segitiga kemas yang dibentuk oleh pekali binomial. Segitiga bertindak sebagai jadual yang merujuk kepada sementara memperluas persamaan binomial.

Segitiga Pascal. (Photo Credit: RDBury / Wikimedia Commons)

Walau bagaimanapun, jika anda membuat lukisan diagonal bergerak ke bawah segitiga dan jumlah nombor yang berada di atas setiap individu pepenjuru, maka angka-angka yang disamakan dengan masing-masing pepenjuru mewakili, seperti yang anda mungkin meneka, nombor Fibonacci. Teori kebarangkalian diasaskan 400 tahun selepas Liber Abaci diterbitkan.

Atau, perhatikan set Mandelbrot, fungsi matematik yang boleh disekat dengan gambarajah yang indah yang dilukis di dalam pesawat kompleks. Gambar rajah kelihatan seperti daun berbentuk hati dengan tunas kecil di pinggirnya. Kuncup-kuncup ini diserang dengan duri sangat nipis. Rajah ini mewakili fraktal, struktur yang setiap bahagiannya terdiri daripada dirinya sendiri. Maksudnya, jika anda menyimpan zoom di atasnya, anda akan mendapati bahawa struktur itu berulang dalam gelung yang tidak terhingga.

Mandelbrot menetapkan rajah. (Photo Credit: Wolfgang Beyer dengan program Ultra Fractal 3. / Wikimedia Commons)

Seperti yang kita zum ke dalam tunas di tepi, kita melihat bahawa tunas membesar ke dalam daun asal dan tiga tunas baru muncul di pinggirnya. Sekiranya seseorang terus memasuki, dia akan menyaksikan perarakan ini berterusan dan selama-lamanya. Bagaimanapun, semasa kita mengintip lebih mendalam dan lebih mendalam, kita melihat bahawa jumlah duri pada setiap tunas baru meningkat. Peningkatan dalam angka meniru pola tertentu; itu urutan Fibonacci! Siapa yang boleh meramalkan ini?

Urutan juga muncul dalam bidang ekonomi dan menelusuri keturunan lebah lelaki. Ia digunakan secara meluas dalam sains komputer, di mana ia digunakan untuk menjana bilangan rawak yang boleh dilihat dengan algoritma yang dipanggil Pseudorandom Number Generators. Saya menggunakan perceivably kerana nombor yang dihasilkan tidak benar-benar rawak; mereka sentiasa bergantung pada input sebelumnya.

Ia juga digunakan dalam algoritma penyortiran di mana membahagikan kawasan tersebut kepada perkadaran yang dua nombor Fibonacci berturut-turut, dan bukan dua bahagian yang sama. Ini menjadikan lokasi memburu ke operasi matematik paling mudah - penambahan dan penolakan. Sedangkan, penyisipan binari (dibahagikan kepada dua bahagian yang sama) memerlukan penggunaan pendaraban, perpecahan dan bit. Urutan ini juga digunakan untuk memperoleh pelbagai identiti matematik penting lain. Walau bagaimanapun, aplikasi yang paling penting ditemui di taman kami.

Spiral Fibonacci

The Parthenon. (Foto Kredit: Flickr)

Orang-orang Yunani akhirnya menemui intipati ini. Mengikut mereka, cara yang paling indah untuk membahagikan garis kepada dua bahagian adalah membagi mereka dalam nisbah sehingga bahagian yang lebih panjang dibahagikan dengan bahagian yang lebih pendek sama dengan keseluruhannya dibahagikan dengan bahagian yang lebih panjang. Mereka memanggilnya Rasio Emas, dan nilainya ialah 1.618

.

Akibatnya, mereka berasaskan seni dan seni bina pada nisbah ini. Contohnya adalah seni bina The Parthenon, yang bersamaan dengan Rasio Emas. Malah artis-artis Renaissance bersungut antara satu sama lain mengenai penggunaan nisbah ini. Kebanyakan karya seni bergantung pada nisbah untuk menguatkan rayuan estetiknya.

Apakah nisbah berharga ini berkaitan dengan nombor Fibonacci? Kepler pernah mengamati bahawa "sebagai 5 adalah 8 sehingga 8 hingga 13, secara praktikal, dan sebagai 8 adalah 13, begitu pula 13 hingga 21 hampir." Nisbah dua nombor Fibonacci berturut-turut adalah hampir sama dengan * lambat perlahan yang baru * nisbah emas! Ini menghubungkan nombor Fibonacci kepada salah satu spiral yang paling dikenali di Internet.

Kuadrat nombor Fibonacci boleh ditulis seperti ini:

1, 1, 4, 9, 25, 64, 169, 441

.

Tiada yang misteri? Mari tambahkan sekumpulan mereka bersama-sama:

1 + 1 + 4 = 6

1 + 1 + 4 + 9 = 15

1 + 1 + 4 + 9 + 25 = 40

Lihatlah lebih dekat dan anda akan melihat bahawa 6 adalah produk 2 dan 3, 15 produk 3 dan 5, dan 40 produk 5 dan 8. Hubungan suami isteri antara nombor Fibonacci dan nisbah emas menjadi jelas - kedua-dua yang membentuk produk ini adalah nombor Fibonacci berturut-turut! Sekarang, mari kita buat gambaran di atas secara bergambar. Setiap kuadrat segi empat boleh diwakili oleh satu persegi yang langkah-langkah sampingannya adalah sama dengan bilangan unit yang diasingkan.

Jadi, kuadrat satu diwakili oleh segi empat segi satu unit. Dataran ini kemudiannya ditambahkan ke dataran seterusnya dalam urutan - satu lagi persegi sisi satu unit. Seterusnya, segi empat tepat 1x2 ditambah kepada satu segi empat sisi dua unit, yang kemudian ditambah lagi kepada segi empat segi tiga unit dan sebagainya. Kami menyedari bahawa produk sebenarnya adalah kawasan segiempat tepat yang muncul ini.

Kerana produk adalah nombor Fibonacci berturut-turut, seseorang dapat melihat bahawa nisbah kedua-dua sisi mana-mana segi empat tepat tunggal adalah nisbah emas! Oleh kerana bilangan jumlah yang hampir sama dengan infiniti, nisbah sisi segi empat semakin berkembang mendekati nilai sebenar nisbah. Lengkung yang berpunca dari pusat dan melalui setiap sudut persegi secara beransur-ansur tumbuh menjadi lingkaran - lingkaran emas, terus menyimpang pada sudut yang disebut sudut emas.

Spiral emas dalam shell nautilus (Spiral Nautilus Cutaway Logarithmic) dan kon pain. (Kredit Foto: Chris 73 / Wikimedia Commons & Pixabay)

Lingkaran emas dapat ditemui dalam segudang tempat di alam, dari bentuk galaksi kita ke kerang nautilus. Ia mengatur susunan pinus dan buah nanas. Kegemaran saya adalah kejadiannya dalam susunan benih berantakan di tengah bunga matahari. Walau bagaimanapun, dengan menggunakan istilah "kekacauan" akan menjadi malu-malu yang menghadap ke atas kekukuhan yang dibelanjakan oleh alam semula jadi semasa menganjurkan biji-bijian ini.

Benih bunga matahari menyimpang pada sudut emas. (Photo Credit: Remi Jouan / Wikimedia Commons)

Biji-bijian tidak sejajar seperti lekuk roda; mereka secara beransur-ansur melangkah keluar. Sudut digression adalah sudut keemasan. Nampaknya sifat secara sukarela memilih nisbah ini kerana membahagi bulatan dengan nombor tidak rasional yang menyebabkan tiada benih mempunyai tetangga dengan sudut yang sama dari pusat. Ini menghasilkan pembungkusan yang sangat cekap, sehingga tidak ada ruang untuk ruang negatif. Bilangan spiral, anda bertanya? 55 dalam satu arah, 89 di sisi yang lain. Kedua-dua nombor Fibonacci, tentu saja!