Bagaimana untuk mengira bilangan E



Anonim

Jika di sekolah seorang pelajar sentiasa berhadapan dengan nombor P dan kepentingannya, maka pelajar lebih sering menggunakan e tertentu, sama dengan 2.71. Pada masa yang sama, nombor tidak diambil dari mana-mana - kebanyakan guru jujur ​​mengiranya secara langsung semasa kuliah, tanpa menggunakan kalkulator.

Arahan

1

Gunakan untuk mengira had luar biasa yang kedua. Ia terletak pada hakikat bahawa e = (1 + 1 / n) ^ n, di mana n adalah integer yang meningkat kepada tak terhingga. Inti bukti menunjukkan hakikat bahawa sebelah kanan batas luar biasa perlu diperluaskan melalui Bin Newton, formula yang sering digunakan dalam kombinasi.

2

Binomial Newton membolehkan kita untuk menyatakan sebarang (a + b) ^ n (jumlah dua nombor dalam ijazah n) sebagai siri (n! * A ^ (nk) * b ^ k) / (k! * (Nk)!). Untuk kejelasan yang lebih besar, tulis semula formula ini di atas kertas.

3

Lakukan transformasi di atas untuk "had indah". Dapatkan yang e = (1 + 1 / n) ^ n = 1 + n / n + (n (n-1)) / (2! * N ^ 2) + n (n-1) / (3! * N3) +.

+ (n-1) (n-2) 2 * 1 / (n! * n ^ n).

4

Siri ini boleh ditukar dengan rendering, untuk kejelasan, faktorial dalam penyebut untuk pendakap dan membahagi setiap pengangka bagi setiap nombor mengikut penyebut. Kami mendapat baris 1 + 1 + (1/2!) * (1-1 / n) + (1/3!) * (1-1 / n) * (1-2 / n) +.

+ (1 / n!) * (1-1 / n) *.

* (1-n-1 / n). Tulis semula siri ini di atas kertas untuk memastikan ia mempunyai struktur yang agak mudah. Dengan peningkatan bilangan ahli (iaitu peningkatan dalam n), perbezaan dalam kurungan akan berkurang, tetapi faktorial di hadapan pendakap (1/1000!) Akan meningkat. Tidak sukar untuk membuktikan bahawa siri ini akan menumpu kepada nilai tertentu bersamaan dengan 2.71. Ini dapat dilihat dari ahli pertama: 1 + 1 = 2; 2+ (1/2) * (1-1 / 1000) = 2.5; 2.5+ (1/3!) * (1-1 / 1000) * (1-2 / 1000) = 2.66.

5

Penguraian lebih mudah dengan bantuan generalisasi formula binomial - Taylor Newtonian. Kelemahan kaedah ini ialah pengiraan dijalankan melalui fungsi eksponen e ^ x, iaitu. untuk mengira e, matematikawan beroperasi dengan nombor e.

6

Siri Taylor mempunyai bentuk: f (x) = f (a) + (xa) * f '(a) / 1! + (Xa) * (f ^ (n)) (a) / n! titik di mana penguraian dilakukan, dan f ^ (n) adalah terbitan f (x) dari urutan ke-n.

7

Selepas penguraian eksponen berturut-turut, ia menjadi: e ^ x = 1 + x / 1! + X ^ 2/2! + X ^ 3/3! +.

+ x ^ n / n!.

8

Derivatif fungsi e ^ x = e ^ x, oleh itu, jika kita menguraikan fungsi itu menjadi siri Taylor di kejiranan sifar, derivatif mana-mana perintah bertukar menjadi perpaduan (kita menggantikan 0 untuk x). Kami mendapat: 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! +.

+ 1 / n!. Bagi beberapa ahli pertama, anda boleh mengira nilai anggaran e: 1 + 0.5 + 0.16 + 0.041 = 2.701.